NAVİER-STOKES DENKLEMLERİNİN MANTIĞI

Akış problemlerini, türbülans akış modellemesinde akışkanlar mekaniğinin genel denklemleri olan Navier-Skotes ve süreklilik denklemleri kullanılmaktadır. Akış problemlerinde kullanılan diferansiyel akış analizini 2 yöntemde ele alabiliriz; bunların ilki deneysel+boyut analiz ve benzerlik, diğeri ise teorik olarak ele almaktır. Kullanılan teorik yöntemlerde kontrol hacim yaklaşımı ve diferansiyel analiz olarak ayırabilmektedir. Akış problemlerinde türbülans akış modellemesi açıklamak için en temelden başlanacak olursa süreklilik denklemini şöyle açıklanmaktadır:

Sistemin kütlesini sabit kabul ederek;

Olacaktır. Newton’un 2. Yasasını ele alarak B sisteme ait herhangi bir özellik olduğunu varsayarak bu durumda;

Olarak Langrenge formunda yazılabilir. Yazılmış olan denklemin daha kolay çözümlenmesi ve integral formuna indirmek için Euler formuna çevrilmesi gerekir. Burada bir akış alanının Langrange sisteminden Euler sistemine yani kontrol hacmine indirgenmesi

Şeklinde yazılabilir. Bu durumda akış problemini kontrol hacim boyutlarında, Euler yaklaşımıyla daha kolay bir çözüm sağlar. Şimdi süreklilik denklemini elde edebilmek için sistemi kütle olarak kabul edildiğinde;

Denklemi şekil değiştirmez ve sabit olduğundan Kütlenin korunumu yasası elde edilir. Sonlu büyüklükteki hacimler kontrole alındığında integral formunda olduğu görülür. Burada kütlenin korunumu yasasından yararlanılarak, diferansiyel formlarına geçiş yapıldığında ve kontrol hacminin boyutları uzayda değişmez kabul edildiğinde denklem 1.7’deki denklemi yazılabilir. Kontrol hacim üç boyutlu bir integral ve kontrol yüzeyi iki boyutlu bir integraldir. Bunların verimli bir biçimde toplanabilmesi için Gauss’un bulduğu Diverjans teoremi kullanılmaktadır. Diverjans teoremi; bir vektör alanın diverjansının hacim integralinin vektörün bölgeyi sınırlayan toplam dışa doğru akıya eşit olduğunu belirtir [1]. G gibi vektörel bir değişken olduğunda;

Buradan kontrol yüzey yerine Diverjans teoremi yazıldığında;

Olarak yazılır. Kontrol hacminin şekil değiştirmez ve sabit olduğunu kabulü yapıldığında bir integralin sonucunun sıfır olabilmesi için, içerisindeki denklemin sıfır olması gerekir. Yani hacme bağlı değerin sıfır olması gerektiği görülür. Süreklilik denklemi yazıldığında;

Şeklinde diferansiyel denklemi bulunmuş olur. Burada bulunan süreklilik denklemi korunumlu süreklilik denklemidir. Süreklilik denklemini Kartezyen koordinatlarda yazmamız gerekirse denklem (1.12) eşitliği için ;

Şeklinde genel süreklilik denklemini yazılabilir. Genel süreklilik denklemi akış problemleri için yeterli olmamakla birlikte geriye üç denkleme daha ihtiyaç duyulmaktadır. Bu denklemleri diferansiyel momentum denklemlerinden elde etmek mümkündür. Tekrar (1.3) deki denklemin kabulü yapıldığında Newton’un 2. Yasası kullanılarak denklem (1.4) ve (1.5) tekrar kullanıldığı düşünülürse fakat bu sefer sistemde bir kuvvet değişkeni koyduğumuzda denklem şu şeklini alacaktır;

Şeklinde eşitliği bulunmuş olacaktır. Diverjans teoremi denklem (1.8) ve (1.9) burada tekrar uygulandığında total olarak terimlerin karşılığı yazılırsa;

Herhangi bir hacim için, integralin sıfır olabilmesinin tek yolu içersindeki terimlerin sonucunun da sıfır olmasıdır bu durumda;

İşte bu denkleme diferansiyel momentum denklemi denir. Görüldüğü denklem fazla karmaşık ve kullanılabilir değildir ayrıca (qVV) , denklemin konvektiflik olarak, denklemi lineerlikten çıkartan bir terimdir. Buradaki terimi kısaca açarsak iki vektörün çarpımının tensör olarak yazımından;

Şeklinde dokuz bileşenli ve altı bilinmeyenli bir tensör bulunmuş olacak. Şimdi ise denklem 10 bilinmeyene çıkmış durumda. Bu sebepten dolayı Newton tipi akışkanlarda kullanılan yüzey gerilme denklemini yazarak denklemdeki sigma bileşenleri bulunmaktadır. Newton tipi akışkan için yazılacak gerilme denklemi;

Ve buradan bulunacak olan 6 adet sigma fonksiyonu ile denklemimizde olan 10 bilinmeyen için 10 denklem bulunmuş olur.

            Akış problemlerini yöneten Navier-Stokes denklemler en genel halleri olan süreklilik denklemi, momentum denklemi enerji denklemidir. Türbülanslı akış halinde bu denklemlerin zaman ortalaması alınarak “Reynolds Ortalamalı Navier-Stokes” RANS denklemleri elde edilir. Bu denklemlerde ortaya çıkan ilave terimler “türbülans gerilmeleridir” ve bunların bir şekilde modellenmesi gerekmektedir. Bütün türbülans modelleri bu amaçla oluşturulmuştur. Navier-Stokes denklemi:

Halinde korunumsuz bir şekilde yazılır. Bu denklem diferansiyel denklem bazından bakıldığı zaman; 2. Mertebeden, zaman bağımlı homojen ve lineer olmayan bir denklemdir.

[1]https://tr.wikipedia.org/wiki/diverjasn_teoremi