BÜYÜK GİRDAP AKIMLARI YÖNTEMİ (LARGE EDDY SİMİLATİON- LES) - B. Arda AKIN

BÜYÜK GİRDAP AKIMLARI YÖNTEMİ (LARGE EDDY SİMİLATİON- LES)

Batuhan Arda AKIN Mayıs 22, 2020



LES, büyük girdapların zamana bağlı bir simülasyonda 'filtrelenmiş' Navier-Stokes denklemlerini kullanarak açıkça hesapladığı bir alternatif türbülans çözüm metodudur. LES'in arkasındaki mantık, türbülansın daha az modellenmesi ile yani daha fazla çözülmesi ile türbülans modellemenin getirdiği hatanın azaltılabilmesidir. Bilindiği gibi türbülanslı akışlar, akışın hız alanının karakteristiği ile belli olarak bu doğrultuda momentum ve enerji gibi çözüm ölçeklerini etkilediği için çok fazla çözüm yaparak türbülanstan doğan karmaşık akış yapısını en az hata ile çözebilmektedir.

 küçük ölçekler için 'evrensel' bir model bulmanın daha kolay olduğuna inanılmaktadır çünkü bunlar büyük girdaplardan daha izotropik ve sınır koşulları gibi makroskobik özelliklerden daha az etkilenme eğilimindedir. Filtreleme aslında 'filtrelenmiş' Navier-Stokes denklemlerinden daha küçük girdapları kaldırmak için uygulanmış bir matematiksel manipülasyondur. Daha net açıklamak gerekirse Ansys-Fluent programında kullanılan 'mesh-size' mekânsal bir filtreleme olarak örnek verilebilir. Navier-Stokes denklemlerine uygulanan bu manipülasyon, Reynolds-ortalamaları gibi (Reynolds-avarage) denkleme ek bilinmeyen terimler yaratacaktır. zaman ortalamaları (time-avarage) ve karekök ortalamaları (r.m.s) gibi zamanla değişen akış alanının istatistikleri ve çözüm değişkenlerinin değerleri simülasyon sırasında toplanabilir. 

Yüksek Reynolds sayılı endüstriyel akışlar için LES teoremi, fazlaca ve önemli miktarda hesaplama olanağı gerektirir. Bunun başlıca nedeni çözülecek ölçeklerin çok daha küçük olduğu çeperin yakınındaki bölgelerde en şiddetli hale gelen hem uzaysal hem de zamansal alanlarında enerji içeren türbülanslı girdapları doğru bir şekilde çözme ihtiyacından kaynaklanır.İç akışlar için, çeper üzerindeki kabaca atılan çözüm ağlarını,çeper fonksiyonları ile (wall-function) kombinasyonunu sağlayarak LES için yapılacak maaliyetleri azaltmakta bir miktar başarı elde edilmiştir. tabii bununla birlikte söz konusu akış için çeper fonksiyonlarının üzerinde durulması ve dikkatlice düşünülmesi gerekir. aynı sebepten ötürü, girdap akımlarını doğru çözümlemek için son derece hassas uzaysal ve zamansal ayrıştırma gerektirir.

Türbülanslı akışlar çok geniş uzunluklara ve zaman ölçeklerine sahiptirler. En büyük girdaplar tipik olarak ortalama akışın karakteristik uzunluğu ile kıyaslanabilir faka küçük olanlar türbülans kinetik enerjisinin yayılmasından sorumludur. 

Teorik olarak doğrudan sayısal simülasyon (DNS) olarak bilinen bir yaklaşımı kullanarak türbülanslı ölçeklerin tüm spektrumlarını doğrudan çözmek mümkündür. DNS modelleme gerektirmez, ancak yüksek Reynolds sayısına ait akışlar içeren problemlerin çözülmesi mümkün değildir. mümkün olmamasının sebebi DNS için yapılacak tüm alanların çözümlenememesinin türbülanslı Reynolds sayısının küpüyle orantılı olmasındandır. Bu sebepten dolayı yüksek Reynolds sayıları için DNS uzun çözüm süreleri ve yüksek bilgisayar kapasiteleri gerektirdiğinden engelleyicidir. 

LES çözümünde büyük girdaplar doğrudan çözülürken, küçük ölçekli girdaplar modellenir. Bu sebeple büyük girdap akımları yöntemi (LES), çözüm yöntemindeki oranlar bakımından DNS ve RANS çözüm metotlarının arasında kalmaktadır.

LES çözüm metodunun arkasındaki mantığı özetlemek gerekirse ;
  1.  Momentum, kütle, enerji gibi aktif olmayan skaler büyüklükler çoğunlukla büyük girdap akımları tarafından aktarılır.
  2.  Büyük girdaplar probleme tabiidir. Bu girdaplar probleme ait akışın sınır koşulları ve geometrisi tarafından belirlenir.
  3.  Küçük girdaplar ise daha izotropik olma eğilimdedirler ve sonuçları daha kapsamlıdır.
  4.  Küçük girdapların kapsamlı türbülans modellerinde bulunma şansları oldukça yüksektir.
DNS'e LES'in çok daha kaba meshlerin ve daha büyük time-steplerin kullanılması, büyük girdapların çözülmesinde izin verir. Ancak, LES de kullanılacak meshlerin boyutları RANS çözüm metoduna göre daha ince ve düzenli mesh boyutları gerektirmektedir. bununla birlikte LES çözüm metodundan alınacak kararlı sonuçlar için uzun bir akış süresi boyunca hesaplama yaptırılmalıdır. 

sonuç olarak LES ile yaptırılacak hesaplamalar için önemli ölçüde RAM kapasitesi ve CPU gereklidir. Bu sebeple yüksek performanslı hesaplamalardaki LES, endüstriyel uygulamalar için önem arz etmektedir.

LES için kullanılacak olan temel denklemlerin elde edilmesi,  Fourier dönüşüm (dalga sayısı ) alanı veya uzayda fiziksel yapılandırmayla zamana bağlı Navier-Stokes denklemlerinin filtrelendirilmesiyle  elde edilir. filtreleme işlemi, ölçekli hesaplamalarda kullanılan filtre genişliğinden veya ızgara aralığından daha küçük olan girdapları etkili bir şekilde fitreler. Elde edilen denklemler böylece büyük girdapların dinamiklerini yönetir.

Filtrelenmiş bir değişken ( üstü çubukla ile gösterilen) şu şekilde tanımlanır:

\overline{\phi}({\bf x}) = \int_{\cal D} \phi({\bf x}') G({\bf x,x'}) d{\bf x}'  
Burada D, akış alanını ifade ederken, G ise çözülecek olan girdabın filtre işlevidir.  Ansys-Fluent'in kullandığı sonlu hacimler yöntemiyle ile filitreleme işlemini dolaylı olarak sağlar ve denklem;

\overline{\phi}({\bf x}) = \frac{1}{V} \int_{\nu} \phi({\bf x}') ~d{\bf x}', \; \; \; {\bf x}' \in {\nu}
burada 'V' bir hesaplama hücresinin hacmidir ve burada ima edilen filtre fonksiyonu ise G(x,x') olacaktır. Eğer fonsiyondaki x' bir 'v' elemanına bağlı ise 1/V olarak alınabilir fakat bağlı değilse sıfır alınmalıdır. 

LES için sıkıştırılamaz akışlarda Navier-Stokes denklemlerine filtre uygularsak, bir düzlem için ;

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_i}(\rho \overline{u}_i) = 0
ve

\frac{\partial}{\partial t} (\rho \overline{u}_{i}) + \frac{... ...}{\partial x_{i}} - \frac{\partial \tau_{ij}} {\partial x_{j}}

burada  $\sigma_{ij}$ moleküler viskoziteye bağlı gerilme tensörüdür. 

\sigma_{ij} \equiv \left[\mu\left(\frac{\partial \overline{... ...} \mu \frac{\partial \overline{u}_l}{\partial x_l} \delta_{ij}

ve $\tau_{ij}$ akış alanınındaki kesme gerilmesi ;

\tau_{ij} \equiv \rho {\overline{u_i u_j}} - \rho {\overline{u}_i} {\overline{u}_j}

Bu filtreleme işleminden kaynaklanan kesme gerilmesi bilinmemektedir ve modellenmesi gerekir. Ansys-fluent bu konuda kendi içindeki kesme gerilmelerinin türbülasn modellerine Boussinesq Hipotezini kullanarak kesme gerilmelerini hesaplar.

\tau_{ij} - \frac{1}{3} \tau_{kk} \delta_{ij} =-2\mu_{t}\overline{S}_{ij}
burada $\mu_t$ akış parçacığına uygulanan türbülans vizkozitesidir.. akış parçacığında  $\tau_{kk}$izotropik kısmını modellemez, ancak filtrelenmiş statik basınç kısmına eklenir. $\overline{S}_{ij}$  kararlı ölçek tensörüdür ve şu şekilde gösterilir;

\overline{S}_{ij} \equiv \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \ov... ...al x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i}\right)

ve bu şekilde verilen tensör ve değişkenler filtrelenerek akış parçacığına uygulanan türbülans vizkozitesi 
için 4 farklı model bulunmaktadır:
  1. the Smagorinsky-Lilly model
  2. the dynamic Smagorinsky-Lilly model
  3. the WALE model
  4. the dynamic kinetic energy subgrid-scale model
Bu modellerin açıklamasına diğer makalelerde değinilecektir. 


Kaynakça

Ansys user guide 12.0

Tags

Yorum Gönder

2 Yorumlar

  1. cano bey25 Mayıs 2020 01:55

    Uzun zamandır nette araştırıyordum. Bİlgi bulamamıştım Allah senden razı olsun.

    YanıtlaSil
  2. Yenimezun2 Aralık 2020 21:11

    Yazdıklarınız çok yardımcı oldu, teşekkür ederim.

    YanıtlaSil